Une matrice dont le carré est nul

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 — L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires · Applications linéaires : noyau et image

Énoncé

Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $3$ , non nulle, telle que $M^{2} = 0$ , et $f : R^{3} \to R^{3}$ l'application linéaire $X \mapsto M X$ . Montrer que $Im f \subset ker f$ , puis que $rg (M) = 1$ .

Corrigé

L'inclusion. Soit $Y \in Im f$ . Par définition il existe $X \in R^{3}$ tel que $Y = M X$ . Alors

$M Y = M (M X) = M^{2} X = 0 \times X = 0,$

donc $Y \in ker f$ . Ainsi $Im f \subset ker f$ .

Passage aux dimensions. Deux sous-espaces emboîtés se comparent par leur dimension : une base de $Im f$ est une famille libre incluse dans $ker f$ , donc elle a au plus $dim ker f$ vecteurs. Notons $r = rg (M) = dim Im f$ . Alors $r \leq dim ker f$ .

Le théorème du rang donne $dim ker f = 3 - r$ , d'où

$r \leq 3 - r, soit 2 r \leq 3, soit r \leq \frac{3}{2} .$

Comme $r$ est un entier, $r \leq 1$ .

La minoration. $M$ est non nulle, donc l'une de ses colonnes est non nulle. Cette colonne appartient à $Im f$ , qui n'est donc pas réduit à ${0}$ : $r \geq 1$ .

Conclusion. $rg (M) = 1$ . Un tel exemple existe bien : $M = 000000100$ vérifie $M^{2} = 0$ et est de rang $1$ .

Le point à retenir. Une hypothèse sur les matrices, $M^{2} = 0$ , s'est traduite en une inclusion d'ensembles, puis en une inégalité entre dimensions, puis en une inégalité entre entiers. C'est le passage $r \leq 3/2 \Rightarrow r \leq 1$ qui conclut : la dimension est un entier.

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