Convexité de trois fonctions

Les trois fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'intervalle indiqué : le critère du cours s'applique, à savoir « convexe $⟺f^{\prime \prime }\ge 0$ ».

$f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$. $f^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$ et $f^{\prime \prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}>0$ pour tout $x$. La fonction est donc convexe sur $\mathbb{R}$ : sa courbe est partout au-dessus de ses tangentes.

$g(x)=\sqrt{x}$ sur $]0,+\infty [$.

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2},g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2}=\frac{-1}{4x\sqrt{x}}<0.$$

La dérivée seconde est strictement négative : $g$ est concave sur $]0,+\infty [$ (sa courbe est sous ses tangentes, et au-dessus de ses cordes).

$h(x)=x^4-6x^2$.

$$h^{\prime }(x)=4x^3-12x,h^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1).$$

Le signe de $h^{\prime \prime }$ est celui du trinôme $x^2-1$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Donc

• $h$ est convexe sur $]-\infty ,-1]$ et sur $[1,+\infty [$ ;
• $h$ est concave sur $[-1,1]$.

En $x=-1$ et $x=1$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : ce sont deux points d'inflexion, de coordonnées $(-1,-5)$ et $(1,-5)$ puisque $h(\pm 1)=1-6=-5$.

Le piège à éviter. L'annulation de $h^{\prime \prime }$ ne suffit pas : pour $x\mapsto x^4$, la dérivée seconde $12x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe, et $0$ n'est pas un point d'inflexion — la fonction reste convexe.