Convexité de $x\ln x$

Posons $f(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty [$. Alors

$$f^{\prime }(x)=\ln x+1,f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}.$$

Sur $]0,+\infty [$ on a $f^{\prime \prime }(x)>0$ : $f$ est convexe sur tout l'intervalle, et strictement.

Conséquences immédiates : $f^{\prime }$ est croissante, la courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes, et sous chacune de ses cordes. Le minimum est atteint là où $f^{\prime }$ s'annule, soit $\ln x=-1$, $x={\mathrm{e}}^{-1}$, où $f({\mathrm{e}}^{-1})=-{\mathrm{e}}^{-1}$.

Aucun point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$ ne s'annule jamais. C'est ce qui fait de $x\ln x$ une fonction de coût commode en économie — le coût marginal y croît sans jamais se retourner.