Convexité et minimum global

Convexité. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ avec

$$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2,f^{\prime \prime }(x)={\mathrm{e}}^x>0.$$

La dérivée seconde est strictement positive : d'après la caractérisation du cours, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Point critique. $f^{\prime }(x)=0⟺{\mathrm{e}}^x=2⟺x=\ln 2$, la fonction $\ln$ étant la réciproque de l'exponentielle.

Conclusion. Le cours énonce que si $f$ est convexe sur un intervalle et si $f^{\prime }(x_0)=0$, alors $f$ atteint en $x_0$ un minimum global. Ici $x_0=\ln 2$, et

$$f(\ln 2)={\mathrm{e}}^{\ln 2}-2\ln 2=2-2\ln 2=2(1-\ln 2).$$

Numériquement, $\ln 2\approx 0,693$, donc le minimum vaut environ $0,614$ : la fonction $f$ ne s'annule jamais, et ${\mathrm{e}}^x>2x$ pour tout réel $x$.

Contrôle par les variations. $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2$ est négative pour $x<\ln 2$ et positive pour $x>\ln 2$ : $f$ décroît puis croît, ce qui confirme le minimum. La convexité apporte ici la garantie que ce minimum est global sans avoir à examiner le comportement aux bornes.