Coût marginal minimal et point d'inflexion

Le coût marginal est $C^{\prime }(q)=3q^2-12q+15$. C'est lui qu'on minimise :

$$C^{\prime \prime }(q)=6q-12=0⟺q=2,$$

et $C^{\prime \prime \prime }(q)=6>0$, donc $C^{\prime \prime }$ change de signe en $2$ en passant du négatif au positif : $C^{\prime }$ y atteint bien un minimum, égal à $C^{\prime }(2)=12-24+15=3$.

L'interprétation. $C^{\prime \prime }(2)=0$ avec changement de signe : $q=2$ est un point d'inflexion de la courbe de coût. Avant, $C$ est concave — chaque unité supplémentaire coûte moins que la précédente, ce sont les rendements croissants. Après, $C$ devient convexe et le coût marginal repart à la hausse : rendements décroissants.

Le seuil $q=2$ est donc l'échelle de production la plus efficace au sens marginal. Ce n'est pas le minimum du coût total (qui est en $q=0$), ni celui du coût moyen — trois notions à ne pas confondre.