Coût moyen minimal et coût marginal

Le coût moyen. Posons, pour $q>0$,

$$m(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{q^2+4q+9}{q}=q+4+\frac{9}{q}.$$

Dérivée et signe. $m$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et

$$m^{\prime }(q)=1-\frac{9}{q^2}=\frac{q^2-9}{q^2}=\frac{(q-3)(q+3)}{q^2}.$$

Pour $q>0$, le dénominateur $q^2$ et le facteur $q+3$ sont strictement positifs : $m^{\prime }(q)$ a donc le signe de $q-3$. Ainsi $m$ décroît sur $]0,3]$ et croît sur $[3,+\infty [$.

Le minimum. $m^{\prime }$ s'annule en $q=3$ en changeant de signe (de $-$ à $+$) sur un intervalle ouvert : $m$ y atteint un minimum, global d'après le tableau de variations. Sa valeur est

$$m(3)=3+4+\frac{9}{3}=10.$$

Comparaison avec le coût marginal. Le coût marginal est $C^{\prime }(q)=2q+4$, donc $C^{\prime }(3)=10=m(3)$. Les deux coïncident.

Pourquoi ce n'est pas un hasard. En un minimum de $m$ on a $m^{\prime }(q)=0$, or

$$m^{\prime }(q)={\left(\frac{C(q)}{q}\right)}^{\prime }=\frac{C^{\prime }(q)q-C(q)}{q^2},$$

qui s'annule exactement quand $C^{\prime }(q)q=C(q)$, c'est-à-dire quand $C^{\prime }(q)=\frac{C(q)}{q}=m(q)$. La courbe de coût marginal coupe donc toujours la courbe de coût moyen en son minimum — un résultat classique en microéconomie, qu'on vient de démontrer et non pas d'observer.