Dérivée seconde et point d'inflexion

Les deux dérivées. $f$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ :

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x,f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1).$$

Signe de $f^{\prime \prime }$. $f^{\prime \prime }(x)<0$ pour $x<1$, $f^{\prime \prime }(1)=0$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ pour $x>1$.

Conclusion sur la convexité. D'après la caractérisation du cours pour une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ :

• $f$ est concave sur $]-\infty ,1]$ (courbe sous ses tangentes) ;
• $f$ est convexe sur $[1,+\infty [$ (courbe au-dessus de ses tangentes).

Point d'inflexion. En $x=1$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : c'est bien un point d'inflexion. Son ordonnée vaut

$$f(1)=1-3+2=0,$$

donc le point d'inflexion est $(1,0)$ — la courbe y traverse sa tangente.

Attention. Le changement de signe est indispensable : pour $x\mapsto x^4$, la dérivée seconde s'annule en $0$ sans changer de signe, et il n'y a pas de point d'inflexion.