mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Deux encadrements du logarithme

Calcul différentiel et intégral · Dérivation, variations et extremums · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Établir, pour tout $x\ge 0$, l'encadrement $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$. En déduire un encadrement de $\ln (1,1)$, puis, par l'inégalité des accroissements finis appliquée à $\ln$ sur $[a,b]$ avec $0<a\le b$, la majoration $\ln b-\ln a\le \frac{b-a}{a}$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.