Deux encadrements du logarithme

La majoration $\ln (1+x)\le x$. Posons $g(x)=\ln (1+x)-x$ sur $[0,+\infty [$. La fonction $g$ est dérivable et

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{-x}{1+x}\le 0$$

pour $x\ge 0$. Donc $g$ est décroissante sur $[0,+\infty [$, et comme $g(0)=\ln 1-0=0$, on a $g(x)\le 0$ pour tout $x\ge 0$, c'est-à-dire $\ln (1+x)\le x$.

La minoration. Posons $h(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$ sur $[0,+\infty [$. En dérivant le quotient $\frac{x}{1+x}$ (numérateur $1\cdot (1+x)-x\cdot 1=1$) :

$$h^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{(1+x)-1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}\ge 0.$$

Donc $h$ est croissante sur $[0,+\infty [$, et $h(0)=0$ donne $h(x)\ge 0$, c'est-à-dire $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)$.

Application numérique. Pour $x=0,1$ :

$$\frac{0,1}{1,1}\le \ln (1,1)\le 0,1,\text{soit}0,0909\le \ln (1,1)\le 0,1.$$

La valeur exacte est $\ln (1,1)\approx 0,0953$ : elle est bien dans l'encadrement, dont l'amplitude est inférieure à $10^{-2}$.

La majoration par les accroissements finis. Soient $0<a\le b$. La fonction $\ln$ est dérivable sur $[a,b]$, de dérivée $t\mapsto \frac{1}{t}$. Sur $[a,b]$ on a $t\ge a>0$, donc $\left|\frac{1}{t}\right|\le \frac{1}{a}$. L'inégalité des accroissements finis donne alors

$$|\ln b-\ln a|\le \frac{1}{a}|b-a|,\text{d’ouˋ}\ln b-\ln a\le \frac{b-a}{a}$$

puisque $b\ge a$ rend les deux membres positifs.

Cohérence des deux résultats. En posant $b=1+x$ et $a=1$, la dernière inégalité redonne $\ln (1+x)\le x$ : les accroissements finis et l'étude de variations disent bien la même chose.