Deux intégrations par parties avec le logarithme

Les deux intégrandes sont continues sur le segment $[1,\mathrm{e}]$ : les intégrales existent.

Première intégrale. On écrit $\ln x=1\times \ln x$ et on pose

$$u(x)=\ln x,u^{\prime }(x)=\frac{1}{x},v^{\prime }(x)=1,v(x)=x,$$

fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[1,\mathrm{e}]$. La formule d'intégration par parties donne

$${\int }_1^{\mathrm{e}}\ln x\mathrm{d}x=[x\ln x{]}_1^{\mathrm{e}}-{\int }_1^{\mathrm{e}}x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x=(\mathrm{e}\cdot 1-1\cdot 0)-{\int }_1^{\mathrm{e}}\mathrm{d}x.$$

Or ${\int }_1^{\mathrm{e}}\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1$, donc

$${\int }_1^{\mathrm{e}}\ln x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1.$$

Seconde intégrale. On pose cette fois

$$u(x)=\ln x,u^{\prime }(x)=\frac{1}{x},v^{\prime }(x)=x,v(x)=\frac{x^2}{2}.$$

Alors

$${\int }_1^{\mathrm{e}}x\ln x\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_1^{\mathrm{e}}-{\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{1}{2}{\int }_1^{\mathrm{e}}x\mathrm{d}x.$$

Le crochet vaut $\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}\ln \mathrm{e}-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}$, et ${\int }_1^{\mathrm{e}}x\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^{\mathrm{e}}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}$. D'où

$${\int }_1^{\mathrm{e}}x\ln x\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}=\frac{2{\mathrm{e}}^2-{\mathrm{e}}^2+1}{4}=\frac{{\mathrm{e}}^2+1}{4}.$$

Contrôle numérique. ${\mathrm{e}}^2\approx 7,389$, donc la seconde intégrale vaut environ $2,097$. Sur $[1,\mathrm{e}]$ l'intégrande $x\ln x$ croît de $0$ à $\mathrm{e}\approx 2,718$, sur un intervalle de longueur $1,718$ : une valeur autour de $2$ est cohérente.

Le choix qui fait tout. Dans les deux cas on dérive $\ln$ et on primitive le reste. L'inverse — primitiver $\ln$ — supposerait connue la primitive qu'on cherche justement à calculer.