Deux intégrations par parties

Première par parties, en dérivant $x^2$ (c'est le facteur qui se simplifie) :

$${\int }_0^1{x}^2{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=[x^2{\mathrm{e}}^x{]}_0^1-2{\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-2{\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x.$$

Seconde par parties, même principe :

$${\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=[x{\mathrm{e}}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1.$$

Conclusion :

$${\int }_0^1{x}^2{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-2\approx 0,718.$$

Le choix de dériver la puissance, et non l'exponentielle, est ce qui fait avancer : chaque parties abaisse le degré d'une unité. Dériver ${\mathrm{e}}^x$ à la place tournerait en rond indéfiniment.