Deux primitives à reconnaître

La première est de la forme $\frac{1}{2}{u}^{\prime }{\mathrm{e}}^u$ avec $u=x^2$ :

$${\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{2}\right]}_0^1=\frac{\mathrm{e}-1}{2}\approx 0,859.$$

La seconde est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ avec $u=x^2+x$, dont la dérivée est exactement $2x+1$ :

$${\int }_1^2\frac{2x+1}{x^2+x}\mathrm{d}x=[\ln |x^2+x|{]}_1^2=\ln 6-\ln 2=\ln 3\approx 1,099.$$

La valeur absolue est ici superflue : $x^2+x>0$ sur $[1,2]$.

Aucune intégration par parties n'était nécessaire : dans les deux cas, le numérateur est la dérivée de ce qui se trouve dessous ou en exposant. C'est le premier réflexe à avoir devant une intégrale.