Encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer

La minoration. L'inégalité ${\mathrm{e}}^u\ge 1+u$, valable pour tout réel $u$, appliquée à $u=-x^2$, donne directement ${\mathrm{e}}^{-x^2}\ge 1-x^2$.

La majoration. Montrons d'abord que ${\mathrm{e}}^{-u}\le 1-u+\frac{u^2}{2}$ pour $u\ge 0$. Posons $g(u)=1-u+\frac{u^2}{2}-{\mathrm{e}}^{-u}$, dérivable, avec

$$g^{\prime }(u)=-1+u+{\mathrm{e}}^{-u}.$$

Or ${\mathrm{e}}^{-u}\ge 1-u$ (l'inégalité de départ en $-u$), donc $g^{\prime }(u)\ge -1+u+1-u=0$. Ainsi $g$ est croissante sur $[0,+\infty [$, et comme $g(0)=1-0+0-1=0$, on a $g(u)\ge 0$ pour $u\ge 0$. En prenant $u=x^2\ge 0$ :

$${\mathrm{e}}^{-x^2}\le 1-x^2+\frac{x^4}{2}.$$

L'intégration des inégalités. Les trois fonctions sont continues sur $[0,1]$ et $0\le 1$ : on peut intégrer l'encadrement terme à terme. Or

$${\int }_0^1(1-x^2)\mathrm{d}x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},{\int }_0^1\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{2}{3}+\frac{1}{10}=\frac{23}{30}.$$

Conclusion. $\frac{2}{3}\le I\le \frac{23}{30}$, c'est-à-dire $0,666\dots \le I\le 0,766\dots$ La valeur exacte est $0,7468\dots$ : elle est bien dans l'étau.

Le point à retenir. Aucune primitive de ${\mathrm{e}}^{-x^2}$ ne s'exprime avec les fonctions usuelles. Encadrer la fonction par deux polynômes, puis intégrer l'encadrement, est le seul moyen élémentaire d'en dire quelque chose de certain — et le sens de l'inégalité n'est conservé que parce que la borne du bas est plus petite que celle du haut.