mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

La courbe au-dessus de ses tangentes, et trois inégalités

Calcul différentiel et intégral · Convexité · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

En utilisant la caractérisation « une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes », établir ${\mathrm{e}}^x\ge 1+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, puis $\ln t\le t-1$ pour $t>0$. En déduire, pour $a,b>0$, l'inégalité $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.