La courbe au-dessus de ses tangentes, et trois inégalités

Première inégalité. Soit $f(x)={\mathrm{e}}^x$, de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\prime \prime }(x)={\mathrm{e}}^x>0$ : $f$ est convexe. Sa tangente en $0$ a pour équation

$$y=f(0)+f^{\prime }(0)(x-0)=1+x.$$

La courbe d'une fonction convexe étant au-dessus de ses tangentes, on obtient ${\mathrm{e}}^x\ge 1+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec égalité seulement en $x=0$.

Deuxième inégalité. Appliquons la première à $x=\ln t$, licite pour $t>0$ :

$$t={\mathrm{e}}^{\ln t}\ge 1+\ln t⟹\ln t\le t-1.$$

(On peut aussi le voir directement : $\ln$ est concave, donc sous sa tangente en $1$, qui est la droite $y=t-1$.)

Troisième inégalité. La fonction $\ln$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\infty [$ avec $(\ln {)}^{\prime \prime }(t)=-\frac{1}{t^2}<0$ : elle est concave, donc $-\ln$ est convexe. Une fonction convexe est sous ses cordes, ce qui appliqué à $-\ln$ entre $a$ et $b$ au point milieu donne

$$-\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{-\ln a-\ln b}{2},$$

soit, en changeant les signes,

$$\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \frac{\ln a+\ln b}{2}=\ln \left(\sqrt{ab}\right),$$

la dernière égalité venant de $\frac{\ln a+\ln b}{2}=\frac{1}{2}\ln (ab)=\ln ((ab{)}^{1/2})$. Comme $\ln$ est strictement croissante, on conclut

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}.$$

Le point délicat. L'inégalité des cordes pour une fonction concave est l'inégalité renversée de celle du cours, énoncée pour les fonctions convexes. Passer par $-\ln$, qui est convexe, évite toute erreur de sens. Vérification sur $a=1$, $b=9$ : $\sqrt{9}=3\le 5$.