Le point d'inflexion d'une courbe logistique

La première identité. $f$ est de la forme $\frac{1}{u}$ avec $u(x)=1+{\mathrm{e}}^{-x}>0$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$$f^{\prime }(x)=-\frac{u^{\prime }(x)}{u(x{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}.$$

Par ailleurs $1-f(x)=\frac{1+{\mathrm{e}}^{-x}-1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}$, donc

$$f(x)(1-f(x))=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}\times \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}=f^{\prime }(x).$$

La seconde. En dérivant $f^{\prime }=f-f^2$ :

$$f^{\prime \prime }=f^{\prime }-2f{f}^{\prime }=f^{\prime }(1-2f).$$

Le signe. $f^{\prime }$ est strictement positive (quotient de quantités strictement positives), donc $f^{\prime \prime }$ a le signe de $1-2f$. Or

$$f(x)\le \frac{1}{2}⟺1+{\mathrm{e}}^{-x}\ge 2⟺{\mathrm{e}}^{-x}\ge 1⟺-x\ge 0⟺x\le 0,$$

en utilisant la stricte croissance de l'exponentielle.

Conclusion. $f^{\prime \prime }\ge 0$ sur $]-\infty ,0]$ : $f$ y est convexe. $f^{\prime \prime }\le 0$ sur $[0,+\infty [$ : $f$ y est concave. En $0$, $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe : le point de coordonnées $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ est un point d'inflexion.

Le point à retenir. Écrire $f^{\prime }$ en fonction de $f$ évite de dériver un quotient une seconde fois. Sur une courbe de diffusion, le point d'inflexion est le moment où la croissance est la plus rapide : après lui elle ralentit encore, mais elle ralentit.