Positivité et relation de Chasles

Première question — Chasles. La relation de Chasles donne

$${\int }_0^{3}f={\int }_0^{1}f+{\int }_1^{3}f,\text{donc}{\int }_1^{3}f=6-1=5.$$

Deuxième question — positivité. Non. La propriété de positivité de l'intégrale affirme que si $f\ge 0$ sur $[a,b]$ avec $a\le b$, alors ${\int }_a^{b}f\ge 0$. Ici $1\le 2$ et $f\ge 0$ sur $[1,2]\subset [0,3]$, donc ${\int }_1^{2}f\ge 0$ : la valeur $-1$ est impossible.

Troisième question — croissance. Non plus. Écrivons Chasles sur $[1,3]$ :

$${\int }_1^{3}f={\int }_1^{2}f+{\int }_2^{3}f,\text{soit}{\int }_1^{2}f=5-{\int }_2^{3}f.$$

Or ${\int }_2^{3}f\ge 0$ par positivité, donc ${\int }_1^{2}f\le 5<7$ : la valeur $7$ est impossible elle aussi.

Ce qui est possible. L'encadrement $0\le {\int }_1^{2}f\le 5$ est le seul renseignement qu'on puisse tirer des hypothèses, et il est optimal : les deux bornes sont approchées selon que $f$ est concentrée sur $[2,3]$ ou sur $[1,2]$.