Quatre dérivées

Produit : ${\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{-x}+x(-{\mathrm{e}}^{-x})=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}$. Elle s'annule en $1$ : c'est là que $x{\mathrm{e}}^{-x}$ atteint son maximum.

Composée : ${\left(\ln (1+x^2)\right)}^{\prime }=\frac{2x}{1+x^2}$ (forme $\frac{u^{\prime }}{u}$, licite car $1+x^2>0$).

Quotient : ${\left(\frac{x}{1+x}\right)}^{\prime }=\frac{(1+x)-x}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{(1+x{)}^2}$, toujours positive : la fonction est croissante sur chacun de ses intervalles.

Puissance composée : ${\left((2x+1{)}^5\right)}^{\prime }=5\times 2\times (2x+1{)}^4=10(2x+1{)}^4$ (forme $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$ — le facteur $u^{\prime }=2$ est celui qu'on oublie).