Rectangles contre trapèzes

from math import exp

def f(x):
    return exp(-x * x)

def rectangles(f, a, b, n):        # rectangles a gauche
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + i * h) for i in range(n))

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    interieur = sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
    return h * (f(a) / 2 + interieur + f(b) / 2)

exact = 0.746824132812427          # valeur de reference
for n in (10, 100, 1000):
    print(n, abs(rectangles(f, 0, 1, n) - exact),
             abs(trapezes(f, 0, 1, n) - exact))

Les erreurs mesurées :

$$\begin{array}{rcc}n& \text{rectangles}& \text{trapeˋzes}\\ 10& 3,10\times 10^{-2}& 6,13\times 10^{-4}\\ 100& 3,15\times 10^{-3}& 6,13\times 10^{-6}\\ 1000& 3,16\times 10^{-4}& 6,13\times 10^{-8}\end{array}$$

Les exposants. À chaque fois que $n$ est multiplié par $10$, l'erreur des rectangles est divisée par $10$ et celle des trapèzes par $100$ :

$${\alpha }_{\text{rectangles}}=1,{\alpha }_{\text{trapeˋzes}}=2.$$

On le lit proprement en régression sur les logarithmes : $\frac{\ln (e_{10}/e_{1000})}{\ln 100}$ vaut $1,00$ et $2,00$.

Ce que cela coûte. Pour gagner une décimale, les rectangles demandent dix fois plus de points, les trapèzes seulement trois fois plus environ. Le surcoût des trapèzes est nul — une addition de plus — pour un ordre gagné : c'est le meilleur rapport de tout le chapitre.