Superposer deux seconds membres

L'équation homogène. L'équation caractéristique est $r^2-r-2=0$, de discriminant $\Delta =1+8=9>0$ et de racines

$$r_1=\frac{1+3}{2}=2,r_2=\frac{1-3}{2}=-1.$$

Les racines sont réelles et distinctes, donc les solutions homogènes sont

$$t⟼\lambda {\mathrm{e}}^{2t}+\mu {\mathrm{e}}^{-t},(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$

Une particulière pour le second membre $4$. Le coefficient de $y$ vaut $b=-2\ne 0$, donc la constante $\frac{c}{b}=\frac{4}{-2}=-2$ convient. Posons $y_1\equiv -2$ : on vérifie $0-0-2\times (-2)=4$.

Une particulière pour le second membre $6{\mathrm{e}}^t$. Posons $y_2(t)=c{\mathrm{e}}^t$, d'où $y_2^{\prime }=c{\mathrm{e}}^t$ et $y_2^{\prime \prime }=c{\mathrm{e}}^t$. Alors

$$y_2^{\prime \prime }-y_2^{\prime }-2y_2=(c-c-2c){\mathrm{e}}^t=-2c{\mathrm{e}}^t.$$

Cette expression vaut $6{\mathrm{e}}^t$ pour tout $t$ si et seulement si $-2c=6$, soit $c=-3$. Donc $y_2(t)=-3{\mathrm{e}}^t$.

Superposition. Le principe de superposition du cours affirme que si $y_1$ résout l'équation de second membre $c_1$ et $y_2$ celle de second membre $c_2$, alors $y_1+y_2$ résout celle de second membre $c_1+c_2$. Donc

$$y_p(t)=-2-3{\mathrm{e}}^t$$

est une solution particulière de l'équation complète.

Solution générale.

$$y(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{2t}+\mu {\mathrm{e}}^{-t}-2-3{\mathrm{e}}^t,(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$

Vérification sur $y_p$. $y_p^{\prime }=-3{\mathrm{e}}^t$, $y_p^{\prime \prime }=-3{\mathrm{e}}^t$, donc $y_p^{\prime \prime }-y_p^{\prime }-2y_p=-3{\mathrm{e}}^t+3{\mathrm{e}}^t+4+6{\mathrm{e}}^t=4+6{\mathrm{e}}^t$. ✔

Le point délicat. Le taux $1$ de ${\mathrm{e}}^t$ n'est pas racine de l'équation caractéristique ($1^2-1-2=-2\ne 0$) : c'est précisément ce qui garantit que $-2c\ne 0$ et que la forme essayée fournit une solution. Si le taux avait été $2$ ou $-1$, le calcul aurait donné $0=6$ et la forme aurait été à changer.