mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Superposer deux seconds membres

Calcul différentiel et intégral · Équations différentielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Résoudre $y^{''} - y^{'} - 2 y = 4 + 6 e^{t}$ sur $R$ , en cherchant séparément une solution particulière pour le second membre $4$ et une autre, de la forme $t \mapsto c e^{t}$ , pour le second membre $6 e^{t}$ .

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Élève

J'ai les solutions de l'équation homogène. Mais pourquoi l'énoncé me fait-il chercher deux solutions particulières séparées ? J'ai un doute sur le droit de les additionner ensuite.

C'est la bonne question. Quelle propriété de l'application $y \mapsto y^{''} - y^{'} - 2 y$ permet d'additionner des solutions obtenues pour deux seconds membres différents, et comment s'appelle ce résultat du cours ?

Élève

Cette application est linéaire : l'image d'une somme est la somme des images. C'est le principe de superposition, donc une solution pour $4$ plus une solution pour $6 e^{t}$ résout l'équation complète.

Exactement. Avant de chercher $c$ : le nombre $1$ , taux de $e^{t}$ , est-il racine de l'équation caractéristique, et pourquoi cela décide-t-il si la forme $t \mapsto c e^{t}$ peut convenir ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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