Trois primitives à vue

Les trois intégrandes sont continues sur les segments considérés — pour la deuxième, $x\mapsto \frac{1}{x}$ est bien continue sur $[1,2]$, qui ne contient pas $0$.

Première intégrale. Une primitive de $3x^2+2x$ est $x^3+x^2$, donc

$${\int }_0^1(3x^2+2x)\mathrm{d}x=[x^3+x^2{]}_0^1=(1+1)-0=2.$$

Deuxième intégrale. Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$ est $\ln x$, donc

$${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x}=[\ln x{]}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0,693.$$

Troisième intégrale. L'intégrande est de la forme $u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$ à un facteur près : avec $u(x)=2x$, $u^{\prime }(x)=2$, on a ${\mathrm{e}}^{2x}=\frac{1}{2}{u}^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{u(x)}$, dont une primitive est $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}$. Donc

$${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{2}\right]}_0^1=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}\approx 3,195.$$

Contrôle. Sur $[0,1]$, ${\mathrm{e}}^{2x}$ croît de $1$ à ${\mathrm{e}}^2\approx 7,39$ : une intégrale d'environ $3,2$ sur un intervalle de longueur $1$ est cohérente.