Un point fixe, et la vitesse de convergence

La dérivée. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{x^2}\right)$. Sur $[1,2]$, $x^2$ varie de $1$ à $4$, donc $\frac{2}{x^2}$ de $2$ à $\frac{1}{2}$ et $1-\frac{2}{x^2}$ de $-1$ à $\frac{1}{2}$. Ainsi

$$-\frac{1}{2}\le f^{\prime }(x)\le \frac{1}{4},\text{donc}|f^{\prime }|\le \frac{1}{2}.$$

Le point fixe. $f(\ell )=\ell$ s'écrit $\ell +\frac{2}{\ell }=2\ell$, soit ${\ell }^2=2$ : sur $[1,2]$, $\ell =\sqrt{2}$. De plus $f([1,2])\subset [1,2]$ (le minimum est $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$ et les bornes donnent $f(1)=1,5$, $f(2)=1,5$), donc la suite reste dans l'intervalle.

La convergence. L'inégalité des accroissements finis donne

$$|u_{n+1}-\sqrt{2}|=|f(u_n)-f(\sqrt{2})|\le \frac{1}{2}|u_n-\sqrt{2}|,\text{d’ouˋ}|u_n-\sqrt{2}|\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n|u_0-\sqrt{2}|.$$

Le majorant tend vers $0$ : $u_n\to \sqrt{2}$.

Le rang 5 : $|u_5-\sqrt{2}|\le \frac{2-\sqrt{2}}{32}\approx 0,018$.

Mais la réalité est bien meilleure : $u_5$ vaut $\sqrt{2}$ à $2\times 10^{-16}$ près. C'est que $f$ est la fonction de Newton pour $x^2-2$, et que $f^{\prime }(\sqrt{2})=0$ : la convergence est quadratique, le nombre de décimales exactes double à chaque tour. La majoration par $\frac{1}{2}$ est juste, mais très grossière — elle prouve la convergence, elle n'en donne pas la vitesse.