Un refroidissement, et son équilibre

Mise sous forme standard. L'équation s'écrit

$$T^{\prime }(t)+0,05T(t)=1,$$

soit $y^{\prime }+ay=b$ avec $a=0,05$ et $b=1$.

Résolution. Les solutions homogènes sont $t\mapsto \lambda {\mathrm{e}}^{-0,05t}$. Comme $a\ne 0$ et que le second membre est constant, la fonction constante $\frac{b}{a}=\frac{1}{0,05}=20$ est une solution particulière. Donc

$$T(t)=20+\lambda {\mathrm{e}}^{-0,05t},\lambda \in \mathbb{R}.$$

La condition initiale $T(0)=90$ donne $20+\lambda =90$, soit $\lambda =70$ :

$$T(t)=20+70{\mathrm{e}}^{-0,05t}.$$

L'équilibre. Une trajectoire d'équilibre est une trajectoire constante : ici $T\equiv 20$, obtenue pour $\lambda =0$. Comme ${\mathrm{e}}^{-0,05t}\to 0$ quand $t\to +\infty$, toute trajectoire converge vers $20$ : le corps prend la température de la pièce, quelle que soit sa température initiale.

Le seuil de $25$ degrés. On cherche $t$ tel que $T(t)<25$ :

$$20+70{\mathrm{e}}^{-0,05t}<25⟺{\mathrm{e}}^{-0,05t}<\frac{5}{70}=\frac{1}{14}.$$

La fonction $\ln$ étant strictement croissante,

$$-0,05t<-\ln 14⟺t>\frac{\ln 14}{0,05}=20\ln 14.$$

Avec $\ln 14\approx 2,639$, cela donne $t>52,8$ : il faut environ $53$ unités de temps.

Contrôle de cohérence. $T$ est strictement décroissante (sa dérivée $-3,5{\mathrm{e}}^{-0,05t}$ est négative) et minorée par $20$ : le seuil $25$ est franchi une seule fois, ce qui rend la réponse non ambiguë.