Un second membre qui n'est pas constant

L'équation homogène. $y^{\prime }-2y=0$, c'est-à-dire $y^{\prime }+ay=0$ avec $a=-2$. Ses solutions sont les fonctions

$$t⟼\lambda {\mathrm{e}}^{-at}=\lambda {\mathrm{e}}^{2t},\lambda \in \mathbb{R}.$$

Une solution particulière. Posons $y_p(t)=c{\mathrm{e}}^{3t}$ ; alors $y_p^{\prime }(t)=3c{\mathrm{e}}^{3t}$ et

$$y_p^{\prime }-2y_p=(3c-2c){\mathrm{e}}^{3t}=c{\mathrm{e}}^{3t}.$$

Cette expression vaut ${\mathrm{e}}^{3t}$ pour tout $t$ si et seulement si $c=1$. Donc $y_p(t)={\mathrm{e}}^{3t}$ convient.

Solution générale. D'après le théorème du cours, les solutions de l'équation complète sont exactement « une solution particulière $+$ les solutions homogènes » :

$$y(t)={\mathrm{e}}^{3t}+\lambda {\mathrm{e}}^{2t},\lambda \in \mathbb{R}.$$

La trajectoire cherchée. La condition $y(0)=0$ donne $1+\lambda =0$, soit $\lambda =-1$. D'où

$$y(t)={\mathrm{e}}^{3t}-{\mathrm{e}}^{2t}={\mathrm{e}}^{2t}({\mathrm{e}}^t-1).$$

Vérification. $y^{\prime }(t)=3{\mathrm{e}}^{3t}-2{\mathrm{e}}^{2t}$, donc $y^{\prime }-2y=3{\mathrm{e}}^{3t}-2{\mathrm{e}}^{2t}-2{\mathrm{e}}^{3t}+2{\mathrm{e}}^{2t}={\mathrm{e}}^{3t}$, et $y(0)=1-1=0$. La trajectoire est bien celle demandée ; elle tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers $0$ en $-\infty$.

Attention. La constante $\frac{b}{a}$ du cours ne fournit une solution particulière que si le second membre est constant. Ici il ne l'est pas : il faut chercher une forme adaptée, en l'occurrence une exponentielle de même taux de croissance que le second membre.