Un tableau de variations

Dérivée. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $u=x$ et $v={\mathrm{e}}^{-x}$, on a $u^{\prime }=1$ et $v^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$, donc

$$f^{\prime }(x)=1\cdot {\mathrm{e}}^{-x}+x\cdot (-{\mathrm{e}}^{-x})=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}.$$

Signe. ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ pour tout réel $x$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1-x$ : positif pour $x<1$, nul en $1$, négatif pour $x>1$. Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,1]$ puis strictement décroissante sur $[1,+\infty [$.

Limites. En $-\infty$ : $x\to -\infty$ et ${\mathrm{e}}^{-x}\to +\infty$, donc $f(x)\to -\infty$. En $+\infty$ : la croissance comparée donne $f(x)\to 0^{+}$ (l'exponentielle l'emporte sur $x$).

Extremum. $f^{\prime }$ s'annule en $1$ en changeant de signe, sur l'intervalle ouvert $\mathbb{R}$ : $f$ y atteint un maximum, global d'après le tableau de variations, de valeur

$$f(1)=1\times {\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,368.$$

Signe de $f$. $f(x)$ a le signe de $x$ : négatif sur $]-\infty ,0[$, nul en $0$, positif sur $]0,+\infty [$. La courbe passe donc sous l'axe, le traverse en $0$, monte jusqu'à $1/\mathrm{e}$ puis redescend vers $0$.