Une approximation affine, et son erreur majorée

L'approximation affine. $f$ est dérivable sur $[0,+\infty [$ avec $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$, donc $f(0)=1$ et $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$. La formule du cours $f(h)=f(0)+h{f}^{\prime }(0)+h\epsilon (h)$ donne l'approximation

$$\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}\text{au voisinage de }0.$$

Pour $x=0,04$ : $\sqrt{1,04}\approx 1+0,02=1,02$.

La majoration de l'erreur. Posons $E(x)=1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}$ pour $x\ge 0$. Multiplions et divisons par la quantité conjuguée, qui est strictement positive :

$$E(x)=\frac{{\left(1+\frac{x}{2}\right)}^2-(1+x)}{\left(1+\frac{x}{2}\right)+\sqrt{1+x}}.$$

Le numérateur vaut

$$1+x+\frac{x^2}{4}-1-x=\frac{x^2}{4}\ge 0,$$

ce qui prouve déjà $E(x)\ge 0$ : l'approximation affine surestime la racine. Quant au dénominateur, pour $x\ge 0$ on a $1+\frac{x}{2}\ge 1$ et $\sqrt{1+x}\ge 1$, donc il est supérieur ou égal à $2$. En majorant un quotient positif par diminution du dénominateur :

$$0\le E(x)\le \frac{x^2/4}{2}=\frac{x^2}{8}.$$

Application. Pour $x=0,04$ :

$$0\le 1,02-\sqrt{1,04}\le \frac{(0,04{)}^2}{8}=\frac{0,0016}{8}=2\times 10^{-4}.$$

Donc $1,0198\le \sqrt{1,04}\le 1,02$. La valeur exacte est $\sqrt{1,04}\approx 1,019804$ : l'erreur réelle vaut environ $1,96\times 10^{-4}$, très proche de la borne — la majoration est fine.

Le point délicat. Rien dans le cours ne majore l'erreur d'une approximation affine en général ; ici c'est la quantité conjuguée, un calcul purement algébrique, qui la contrôle. C'est le prix à payer pour transformer un « $\approx$ » en un encadrement démontré.