Une équation de tangente

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 8 — Calcul différentiel et intégral · Dérivées et tangentes

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x$ . Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $2$ , puis les points où la tangente est horizontale.

Corrigé

La dérivée. $f$ est une fonction polynomiale, dérivable sur $R$ , et

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3.$

La tangente en $2$ . On a $f (2) = 8 - 6 = 2$ et $f^{'} (2) = 12 - 3 = 9$ . L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ , donc ici

$y = 2 + 9 (x - 2) = 9 x - 16.$

Les tangentes horizontales. Une tangente est horizontale lorsque la dérivée s'annule :

$3 x^{2} - 3 = 0 ⟺ x^{2} = 1 ⟺ x = 1 ou x = - 1.$

Les points correspondants sont $(1, f (1)) = (1, - 2)$ et $(- 1, f (- 1)) = (- 1, 2)$ , puisque $f (1) = 1 - 3 = - 2$ et $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ .

Remarque. $f^{'}$ change de signe en $1$ et en $- 1$ : ces deux points sont respectivement un minimum local et un maximum local de $f$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.