Une équation de tangente

La dérivée. $f$ est une fonction polynomiale, dérivable sur $\mathbb{R}$, et

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3.$$

La tangente en $2$. On a $f(2)=8-6=2$ et $f^{\prime }(2)=12-3=9$. L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$, donc ici

$$y=2+9(x-2)=9x-16.$$

Les tangentes horizontales. Une tangente est horizontale lorsque la dérivée s'annule :

$$3x^2-3=0⟺x^2=1⟺x=1\text{ ou }x=-1.$$

Les points correspondants sont $(1,f(1))=(1,-2)$ et $(-1,f(-1))=(-1,2)$, puisque $f(1)=1-3=-2$ et $f(-1)=-1+3=2$.

Remarque. $f^{\prime }$ change de signe en $1$ et en $-1$ : ces deux points sont respectivement un minimum local et un maximum local de $f$.