Une équation du second ordre

Solution particulière : constante, $6y=12$ donne $y=2$.

Équation caractéristique : $r^2-5r+6=0$, de racines réelles distinctes $r=2$ et $r=3$. L'homogène a pour solutions $A{\mathrm{e}}^{2x}+B{\mathrm{e}}^{3x}$.

Solution générale : $y(x)=2+A{\mathrm{e}}^{2x}+B{\mathrm{e}}^{3x}$.

Conditions initiales. $y(0)=2+A+B=3$ donne $A+B=1$ ; $y^{\prime }(x)=2A{\mathrm{e}}^{2x}+3B{\mathrm{e}}^{3x}$ et $y^{\prime }(0)=2A+3B=1$. En résolvant : $B=-1$ et $A=2$, d'où

$$y(x)=2+2{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{3x}.$$

Vérification : $y(0)=2+2-1=3$ et $y^{\prime }(0)=4-3=1$.

Comportement. Les deux exposants sont positifs, donc l'équilibre $y=2$ est répulsif. Ici $-{\mathrm{e}}^{3x}$ finit par dominer et $y\to -\infty$. Deux conditions initiales suffisent à fixer la trajectoire — c'est le sens de « ordre deux ».