Une équation du second ordre homogène

Équation caractéristique. Elle s'écrit $r^2-1=0$, dont les racines sont $r_1=1$ et $r_2=-1$ : deux racines réelles distinctes.

Solutions générales. D'après le théorème du cours,

$$y(t)=\lambda {\mathrm{e}}^t+\mu {\mathrm{e}}^{-t},(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$

Les conditions initiales. On a $y^{\prime }(t)=\lambda {\mathrm{e}}^t-\mu {\mathrm{e}}^{-t}$, donc

$$\{\begin{array}{rl}y(0)& =\lambda +\mu =2\\ y^{\prime }(0)& =\lambda -\mu =0\end{array}$$

En additionnant : $2\lambda =2$, donc $\lambda =1$ ; puis $\mu =1$.

La trajectoire.

$$y(t)={\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^{-t}.$$

Vérification. $y^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^t-{\mathrm{e}}^{-t}$ et $y^{\prime \prime }(t)={\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^{-t}=y(t)$, donc $y^{\prime \prime }-y=0$ ; de plus $y(0)=1+1=2$ et $y^{\prime }(0)=1-1=0$. ✔

La trajectoire est paire, minimale en $0$ où elle vaut $2$, et tend vers $+\infty$ des deux côtés.