Une étude de variations complète

Dérivée. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. Avec $u=\ln x$ et $v=x$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

Signe. $x^2>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1-\ln x$, c'est-à-dire : positif pour $x<\mathrm{e}$, nul en $\mathrm{e}$, négatif pour $x>\mathrm{e}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0,\mathrm{e}]$ et strictement décroissante sur $[\mathrm{e},+\infty [$.

Limites. En $0^{+}$, $\ln x\to -\infty$ et $\frac{1}{x}\to +\infty$, donc $f(x)\to -\infty$. En $+\infty$, la croissance comparée donne $f(x)\to 0^{+}$.

Extremum. $f^{\prime }$ s'annule en $\mathrm{e}$ en changeant de signe (de $+$ à $-$), sur l'intervalle ouvert $]0,+\infty [$ : $f$ admet en $\mathrm{e}$ un maximum, et il est global au vu du tableau de variations. Sa valeur est $f(\mathrm{e})=\frac{1}{\mathrm{e}}$.

Application. Le maximum étant atteint uniquement en $\mathrm{e}$, on a $f(\pi )<f(\mathrm{e})$ puisque $\pi \ne \mathrm{e}$, soit

$$\frac{\ln \pi }{\pi }<\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}⟹\mathrm{e}\ln \pi <\pi ,$$

en multipliant par $\mathrm{e}\pi >0$. Or $\pi =\pi \ln \mathrm{e}$, donc $\mathrm{e}\ln \pi <\pi \ln \mathrm{e}$, c'est-à-dire $\ln \left({\pi }^{\mathrm{e}}\right)<\ln \left({\mathrm{e}}^{\pi }\right)$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante,

$${\pi }^{\mathrm{e}}<{\mathrm{e}}^{\pi }.$$

Numériquement : ${\pi }^{\mathrm{e}}\approx 22,46$ et ${\mathrm{e}}^{\pi }\approx 23,14$.