Une évolution vers son équilibre

Mise sous forme standard. En développant :

$$y^{\prime }=20-0,4y⟺y^{\prime }+0,4y=20,$$

soit $y^{\prime }+ay=b$ avec $a=0,4$ et $b=20$.

Résolution. Les solutions homogènes sont $t\mapsto \lambda {\mathrm{e}}^{-0,4t}$. Comme $a\ne 0$ et que le second membre est constant, la constante $\frac{b}{a}=\frac{20}{0,4}=50$ est une solution particulière. Donc

$$y(t)=50+\lambda {\mathrm{e}}^{-0,4t},\lambda \in \mathbb{R}.$$

La condition $y(0)=10$ donne $50+\lambda =10$, soit $\lambda =-40$ :

$$y(t)=50-40{\mathrm{e}}^{-0,4t}.$$

Équilibre. La trajectoire d'équilibre est la trajectoire constante $y\equiv 50$ (celle obtenue pour $\lambda =0$).

Variations et limite. $y^{\prime }(t)=16{\mathrm{e}}^{-0,4t}>0$ : la solution est strictement croissante. Et ${\mathrm{e}}^{-0,4t}\to 0$ quand $t\to +\infty$, donc $y(t)\to 50$ : la trajectoire monte de $10$ vers $50$ sans jamais l'atteindre, en convergeant vers l'équilibre.