Une intégrale par deux chemins

La fonction $x\mapsto \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^x}$ est continue sur le segment $[0,1]$ (le dénominateur ne s'annule pas), donc $I$ est bien définie.

Première méthode — une primitive à vue. Pour tout $x$,

$$1-\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}=\frac{(1+{\mathrm{e}}^x)-{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^x}.$$

Le second terme est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ avec $u(x)=1+{\mathrm{e}}^x>0$, dont une primitive est $\ln u$. Donc $x\mapsto x-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)$ est une primitive de l'intégrande, et

$$I=[x-\ln (1+{\mathrm{e}}^x){]}_0^1=(1-\ln (1+\mathrm{e}))-(0-\ln 2)=1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e}).$$

Seconde méthode — le changement de variable indiqué. Posons $u=\phi (x)={\mathrm{e}}^x$. La fonction $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et strictement croissante sur $[0,1]$, avec $\mathrm{d}u={\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$, donc $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u}$. Les bornes deviennent $\phi (0)=1$ et $\phi (1)=\mathrm{e}$ :

$$I={\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{1}{1+u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{u}={\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}u}{u(1+u)}.$$

On décompose : $\frac{1}{u(1+u)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}$, ce qu'on vérifie en réduisant au même dénominateur — $\frac{(1+u)-u}{u(1+u)}=\frac{1}{u(1+u)}$. D'où

$$I=[\ln u-\ln (1+u){]}_1^{\mathrm{e}}=(1-\ln (1+\mathrm{e}))-(0-\ln 2)=1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e}).$$

Les deux méthodes concordent. Numériquement, $\ln 2\approx 0,6931$ et $\ln (1+\mathrm{e})\approx \ln (3,7183)\approx 1,3133$, donc $I\approx 0,380$.

Contrôle de vraisemblance. Sur $[0,1]$, l'intégrande décroît de $\frac{1}{2}=0,5$ à $\frac{1}{1+\mathrm{e}}\approx 0,269$ ; l'intégrale sur un intervalle de longueur $1$ doit donc être comprise entre $0,269$ et $0,5$. La valeur $0,380$ y est bien.