Une intégrale qui ne dépend pas de sa borne

Première méthode : par une primitive. Sur $]0,+\infty [$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ est continue et admet $\ln$ pour primitive. Comme $x>0$ et $2x>0$ appartiennent tous deux à cet intervalle,

$$G(x)=[\ln t{]}_x^{2x}=\ln (2x)-\ln x=\ln 2+\ln x-\ln x=\ln 2,$$

en utilisant $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. La fonction $G$ est donc constante, égale à $\ln 2\approx 0,693$.

Seconde méthode : en dérivant. Notons $F$ une primitive de $t\mapsto \frac{1}{t}$ sur $]0,+\infty [$, de sorte que $G(x)=F(2x)-F(x)$ pour $x>0$. Cette écriture est dérivable, et la dérivée d'une composée donne

$$G^{\prime }(x)=2F^{\prime }(2x)-F^{\prime }(x)=\frac{2}{2x}-\frac{1}{x}=0.$$

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante. Il reste à connaître cette constante : on l'obtient en une seule valeur, par exemple $G(1)={\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$. Donc $G(x)=\ln 2$ pour tout $x>0$.

Le point délicat. La borne supérieure est $2x$, pas $x$ : la dérivée du terme $F(2x)$ vaut $2F^{\prime }(2x)$ et non $F^{\prime }(2x)$. C'est ce facteur $2$ qui annule exactement la dérivée.

Le point à retenir. Le résultat s'explique sans calcul : le changement de variable $t=xu$ transforme $G(x)$ en ${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}u}{u}$, où $x$ a disparu. L'intégrale mesure un rapport d'échelle, et ce rapport vaut toujours $2$.