Une intégration par parties

L'intégrande est continu sur le segment $[0,1]$ : l'intégrale existe.

Choix des fonctions. On pose

$$u(x)=x,u^{\prime }(x)=1,v^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x},v(x)=-{\mathrm{e}}^{-x},$$

toutes de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$. On dérive le facteur polynomial $x$ pour le faire disparaître — c'est le principe.

Application de la formule.

$${\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-x{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1-{\int }_0^1(-{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}}^{-1}+{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x.$$

Le crochet vaut $-1\cdot {\mathrm{e}}^{-1}-0=-{\mathrm{e}}^{-1}$. Et

$${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1=-{\mathrm{e}}^{-1}+1.$$

Conclusion.

$${\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}}^{-1}+1-{\mathrm{e}}^{-1}=1-\frac{2}{\mathrm{e}}\approx 1-0,7358=0,264.$$

Contrôle de vraisemblance. Sur $[0,1]$ la fonction $x{\mathrm{e}}^{-x}$ vaut $0$ en $0$ et ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368$ en $1$, en croissant : son intégrale est comprise entre $0$ et $0,368$. La valeur $0,264$ y est.