Une racine carrée à cinq centièmes près

La dérivée et sa majoration. Sur $[100,101]$, la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est dérivable et $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Comme $x\ge 100$ entraîne $\sqrt{x}\ge 10$, on a

$$|f^{\prime }(x)|=\frac{1}{2\sqrt{x}}\le \frac{1}{20}=0,05\text{sur }[100,101].$$

L'inégalité des accroissements finis. Avec $k=\frac{1}{20}$, $a=100$ et $b=101$ :

$$\left|\sqrt{101}-\sqrt{100}\right|\le \frac{1}{20}\times |101-100|=0,05,$$

c'est-à-dire $|\sqrt{101}-10|\le 0,05$.

L'encadrement. La racine carrée est strictement croissante, donc $\sqrt{101}>\sqrt{100}=10$. Avec la majoration :

$$10<\sqrt{101}\le 10,05.$$

La valeur exacte est $10,0499\dots$ : l'encadrement est très serré, parce que la dérivée varie peu sur un intervalle de longueur $1$ si loin de $0$.

Le cas général. Sur $[1,+\infty [$, $\sqrt{x}\ge 1$ donc $|f^{\prime }(x)|=\frac{1}{2\sqrt{x}}\le \frac{1}{2}$. L'inégalité des accroissements finis, avec $k=\frac{1}{2}$, donne pour tous $a,b\ge 1$ l'inégalité $|\sqrt{b}-\sqrt{a}|\le \frac{|b-a|}{2}$.

Le point à retenir. L'inégalité des accroissements finis convertit une majoration de la dérivée — souvent facile — en une majoration des écarts de la fonction. C'est l'outil qui chiffre les erreurs, et il ne demande jamais de calculer la fonction elle-même.