Une racine double, et le régime de long terme

L'équation caractéristique. $r^2-4r+4=0$ s'écrit $(r-2{)}^2=0$ et a donc une racine double $r=2$ (son discriminant vaut $16-16=0$). Les solutions de l'équation homogène sont les $t\mapsto (\lambda +\mu t){\mathrm{e}}^{2t}$, avec $\lambda$ et $\mu$ réels.

Une solution particulière. Le second membre est la constante $8$ et le coefficient de $y$ vaut $4\ne 0$ : la fonction constante $y_p=\frac{8}{4}=2$ convient — on le vérifie, $0-0+4\times 2=8$. C'est la trajectoire d'équilibre.

La solution générale.

$$y(t)=2+(\lambda +\mu t){\mathrm{e}}^{2t}.$$

Les conditions initiales. $y(0)=2+\lambda =3$ donne $\lambda =1$. En dérivant,

$$y^{\prime }(t)=\mu {\mathrm{e}}^{2t}+2(\lambda +\mu t){\mathrm{e}}^{2t}=(\mu +2\lambda +2\mu t){\mathrm{e}}^{2t},$$

donc $y^{\prime }(0)=\mu +2\lambda =\mu +2=0$, soit $\mu =-2$. La trajectoire cherchée est

$$y(t)=2+(1-2t){\mathrm{e}}^{2t}.$$

Le comportement en $+\infty$. Le facteur $1-2t$ tend vers $-\infty$ et ${\mathrm{e}}^{2t}$ vers $+\infty$ : le produit tend vers $-\infty$, donc $y(t)\to -\infty$. La trajectoire s'éloigne de l'équilibre $2$, et elle en part alors même qu'elle démarre tout près ($y(0)=3$) et avec une vitesse nulle.

Le point à retenir. L'équilibre existe toujours dès que le coefficient de $y$ est non nul, mais il n'attire les trajectoires que si les racines caractéristiques sont négatives. Ici $r=2>0$ : l'équilibre est instable.