Une suite d'intégrales

Positivité. Sur $[0,1]$, $x^n\ge 0$ et ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ : l'intégrande est positif, donc $I_n\ge 0$.

Décroissance. Pour $x\in [0,1]$, $x^{n+1}\le x^n$. En multipliant par ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ et en intégrant sur $[0,1]$ — la positivité de l'intégrale conserve l'inégalité — on obtient $I_{n+1}\le I_n$.

La relation. Intégrons par parties $I_{n+1}$ en primitivant ${\mathrm{e}}^{-x}$ :

$$I_{n+1}={\int }_0^1{x}^{n+1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-x^{n+1}{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1+(n+1){\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}}^{-1}+(n+1)I_n.$$

La limite. Sur $[0,1]$, $0\le {\mathrm{e}}^{-x}\le 1$, donc $0\le x^n{\mathrm{e}}^{-x}\le x^n$ et

$$0\le I_n\le {\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}.$$

Le théorème d'encadrement donne $\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0}$.

Un avertissement. La relation de récurrence, lue « en avant », amplifie toute erreur par $n+1$ à chaque tour : en calcul numérique elle est inutilisable telle quelle. C'est un exemple classique d'instabilité — la même formule lue à l'envers, $I_n=\frac{I_{n+1}+{\mathrm{e}}^{-1}}{n+1}$, est elle parfaitement stable.