Additionner deux séries : ce qui est licite

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 9 — Étude élémentaire des séries · Télescopage et sommes exactes

Énoncé

Montrer que si $\sum u_{n}$ converge et $\sum v_{n}$ diverge, alors $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge. En déduire la nature de $\sum_{n \geq 1} (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{n})$ . Que dire de $\sum_{n \geq 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ , dont les deux morceaux divergent ?

Corrigé

Première partie. Raisonnons par l'absurde et supposons que $\sum (u_{n} + v_{n})$ converge. Comme $\sum u_{n}$ converge aussi, la proposition de linéarité du cours s'applique à ces deux séries convergentes : la série de terme général

$(u_{n} + v_{n}) - u_{n} = v_{n}$

converge. Cela contredit l'hypothèse « $\sum v_{n}$ diverge ». Donc $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge.

Application. La série $\sum \frac{1}{2 ^{n}}$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , avec $\frac{1}{2} < 1$ : elle converge. La série $\sum \frac{1}{n}$ diverge (résultat du cours). D'après ce qui précède,

$n \geq 1 \sum (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{n}) diverge .$

Le second cas. Ici les deux morceaux $\sum \frac{1}{n}$ et $\sum \frac{1}{n + 1}$ divergent : le résultat précédent ne s'applique pas, et il ne dit rien. Il faut revenir aux sommes partielles. Le terme général est une différence de deux termes consécutifs de la suite $a_{n} = \frac{1}{n}$ , donc la somme partielle télescope :

$S_{N} = n = 1 \sum N (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{N + 1} N \to + \infty 1.$

La série converge, et sa somme vaut $1$ .

La leçon. « Convergente $+$ divergente $=$ divergente » est un résultat ; « divergente $+$ divergente » n'en est pas un — la somme peut diverger comme converger. La raison profonde est qu'on n'a le droit de séparer une somme en deux que lorsque les deux morceaux convergent.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.