Combien de termes pour une somme géométrique ?

def somme(q, eps):
    assert 0 <= q < 1, "raison hors du domaine de convergence"
    s, terme, n = 0.0, 1.0, 0
    while terme >= eps:
        s = s + terme
        terme = terme * q
        n = n + 1
    return s, n

Les résultats, pour $\epsilon =10^{-6}$ :

$$\begin{array}{cccc}q& \text{termes}& \text{somme calculeˊe}& 1/(1-q)\\ 0,5& 20& 1,999998& 2\\ 0,99& 1375& 99,99990& 100\end{array}$$

Pourquoi tant d'écart. La boucle s'arrête quand $q^n<\epsilon$, c'est-à-dire

$$n>\frac{\ln \epsilon }{\ln q}.$$

Or $\ln (0,5)=-0,693$ tandis que $\ln (0,99)=-0,0101$ : soixante-dix fois plus petit en valeur absolue, donc soixante-dix fois plus de termes. Plus la raison approche $1$, plus $\ln q$ approche $0$, et plus le nombre de termes explose — c'est exactement la courbe $\frac{1}{1-q}$ du cours, vue du côté du coût de calcul.

Un piège de plus. Le critère d'arrêt porte sur le terme, pas sur l'erreur. Le reste vaut ici $\frac{q^n}{1-q}$, soit $100$ fois le dernier terme pour $q=0,99$ : s'arrêter à $10^{-6}$ ne garantit que $10^{-4}$ sur la somme. Un terme petit ne veut pas dire un reste petit — la série harmonique le rappelle avec force.