Converger sans qu'on sache vers quoi

La série est à termes positifs : ses sommes partielles forment une suite croissante, et le critère du cours dit qu'elle converge si et seulement si cette suite est majorée. C'est donc un majorant qu'il faut produire.

La majoration du terme général. Pour $n\ge 2$, on a $n-1\ge 1$, donc $n(n-1)\le n^2$, et ces deux nombres sont strictement positifs. En passant aux inverses, l'inégalité change de sens :

$$\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.$$

Le télescopage. Pour $N\ge 2$, on isole le terme $n=1$ (que la majoration ne couvre pas) et on somme le reste :

$$S_N=1+\sum _{n=2}^N\frac{1}{n^2}\le 1+\sum _{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+1-\frac{1}{N}\le 2.$$

Les sommes partielles sont croissantes et majorées par $2$ : la série converge, et sa somme est comprise entre $1$ et $2$.

Le point à retenir. La majoration prouve la convergence et ne donne pas la somme — qui vaut $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,645$, hors de portée de ce chapitre. Savoir qu'un nombre existe et savoir le calculer sont deux questions distinctes, et la première se règle presque toujours par un encadrement.