D'une série à la limite d'une suite

Le terme général. Le point fixe vérifie $\ell =\frac{\ell }{2}+1$, soit $\ell =2$, et la formule usuelle donne $u_n=2+(1-2){\left(\frac{1}{2}\right)}^n=2-\frac{1}{2^n}$. Donc

$$u_{n+1}-u_n=\left(2-\frac{1}{2^{n+1}}\right)-\left(2-\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2^{n+1}}.$$

La série converge, comme série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ :

$$\sum _{n=0}^{+\infty }(u_{n+1}-u_n)=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{2^{n+1}}=1.$$

La limite de la suite. La somme partielle se télescope : ${\sum }_{n=0}^{N-1}(u_{n+1}-u_n)=u_N-u_0$. Comme elle tend vers $1$ et que $u_0=1$ :

$$\underset{N\to +\infty }{\lim }{u}_N=u_0+1=2.$$

C'est le lien du chapitre, dans les deux sens : une suite converge si et seulement si la série de ses accroissements converge, et la limite s'obtient en ajoutant la somme au premier terme. On peut donc étudier une suite par sa série — ou l'inverse, selon celle des deux qu'on sait traiter.