D'une somme partielle à la somme d'une série

La somme partielle. Pour $q\ne 1$, la somme géométrique finie vaut

$$\sum _{n=0}^N{q}^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}.$$

Avec $q=\frac{2}{5}$, on a $1-q=\frac{3}{5}$, donc

$$S_N=\frac{1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{N+1}}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{N+1}\right).$$

Passage à la limite. Comme $\left|\frac{2}{5}\right|<1$, on a ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{N+1}\to 0$ quand $N\to +\infty$. La suite $(S_N)$ converge donc, ce qui est la définition de la convergence de la série, et

$$\sum _{n\ge 0}{\left(\frac{2}{5}\right)}^n=\underset{N\to +\infty }{\lim }{S}_N=\frac{5}{3}.$$

Vérification par la formule. $\frac{1}{1-q}=\frac{1}{3/5}=\frac{5}{3}$ : on retrouve bien le résultat du cours.

Ce que l'exercice rappelle. Une série est la suite de ses sommes partielles ; sa somme est la limite de cette suite. La formule $\frac{1}{1-q}$ n'est pas un axiome, c'est le résultat de ce passage à la limite.

Contrôle numérique. $S_0=1$, $S_1=1,4$, $S_2=1,56$, $S_3\approx 1,624$, $S_5\approx 1,6598$ : la suite monte bien vers $\frac{5}{3}\approx 1,6667$.