Deux séries de référence dans la même somme

On sépare, mais après avoir justifié. La linéarité ne s'applique qu'à des séries déjà convergentes. Posons $q=\frac{1}{3}$, qui vérifie $|q|<1$ : les deux séries $\sum q^n$ et $\sum n{q}^{n-1}$ convergent comme séries usuelles du cours, donc $\sum n{q}^n$ aussi, et l'on peut écrire

$$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{n+2}{3^n}=\sum _{n=0}^{+\infty }n{q}^n+2\sum _{n=0}^{+\infty }{q}^n.$$

La seconde est géométrique : ${\sum }_{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$.

La première demande un recalage d'exposant. Le terme $n=0$ est nul, donc on peut démarrer à $n=1$, puis factoriser un $q$ :

$$\sum _{n=0}^{+\infty }n{q}^n=q\sum _{n=1}^{+\infty }n{q}^{n-1}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\times \frac{9}{4}=\frac{3}{4}.$$

Conclusion : la somme vaut $\frac{3}{4}+2\times \frac{3}{2}=\frac{15}{4}=3,75$.

Le point à retenir. La formule du cours porte sur $n{q}^{n-1}$, pas sur $n{q}^n$ : le facteur $q$ mis en facteur n'est pas un détail de présentation, l'oublier donnerait $\frac{9}{4}+3=5,25$. Une somme se ramène toujours aux séries de référence par deux gestes : recaler l'indice de départ, recaler l'exposant.