Deux séries exponentielles

La première est la série exponentielle en $x=2$ :

$$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{2^n}{n!}={\mathrm{e}}^2\approx 7,389.$$

La seconde demande un changement d'indice. Posons $m=n-1$ ; quand $n$ parcourt $[[1,+\infty [[$, $m$ parcourt $[[0,+\infty [[$ :

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{(n-1)!}=\sum _{m=0}^{+\infty }\frac{1}{m!}=\mathrm{e}\approx 2,718.$$

Le changement d'indice n'est pas une astuce mais la seule façon de ramener une somme à une forme connue. On le fait toujours en deux temps : poser le nouvel indice, puis recalculer les bornes — c'est cette seconde étape qu'on oublie.