Deux séries géométriques

La première part de $n=0$ et sa raison vérifie $\left|\frac{2}{3}\right|<1$ :

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3.$$

La seconde ne part pas de $0$. On factorise le premier terme :

$$\sum _{n=2}^{+\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\sum _{k=0}^{+\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1}{4}\times \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$$

(Ou par différence : $2-1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.)

La formule $\frac{1}{1-q}$ vaut pour une somme commençant à $0$. Oublier de recaler l'indice est l'erreur la plus fréquente : ici elle aurait donné $2$ au lieu de $\frac{1}{2}$.