Deux séries qui divergent

Ni l'une ni l'autre, et pour la même raison : leur terme général ne tend pas vers $0$.

$\frac{n}{n+1}\to 1\ne 0$, donc $\sum \frac{n}{n+1}$ diverge grossièrement.

$(-1{)}^n$ n'a pas de limite, donc ne tend pas vers $0$ : $\sum (-1{)}^n$ diverge aussi. Ses sommes partielles oscillent entre $1$ et $0$ sans se stabiliser.

Attention au sens de l'implication. Le critère ne sert qu'à éliminer : un terme général tendant vers $0$ ne garantit rien — la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ en est le contre-exemple obligatoire.