Deux sommes exponentielles

L'outil. Le cours admet que pour tout réel $x$,

$$\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}={\mathrm{e}}^x,$$

la série convergeant pour toute valeur de $x$.

Première somme. On reconnaît le cas $x=-1$, puisque $\frac{(-1{)}^n}{n!}=\frac{(-1{)}^n}{n!}$ :

$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{n!}={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,3679.$$

Seconde somme. Séparons le terme général :

$$\frac{3^n+(-2{)}^n}{n!}=\frac{3^n}{n!}+\frac{(-2{)}^n}{n!}.$$

Chacune des deux séries $\sum \frac{3^n}{n!}$ et $\sum \frac{(-2{)}^n}{n!}$ converge, comme série exponentielle en $x=3$ puis en $x=-2$. La proposition de linéarité du cours autorise alors à sommer terme à terme :

$$\sum _{n\ge 0}\frac{3^n+(-2{)}^n}{n!}=\sum _{n\ge 0}\frac{3^n}{n!}+\sum _{n\ge 0}\frac{(-2{)}^n}{n!}={\mathrm{e}}^3+{\mathrm{e}}^{-2}.$$

Numériquement : ${\mathrm{e}}^3\approx 20,086$ et ${\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135$, soit environ $20,22$.

L'ordre du raisonnement compte. La linéarité ne s'applique qu'à des séries dont on sait déjà qu'elles convergent : c'est pourquoi on identifie les deux séries exponentielles avant de séparer, et non l'inverse.