Deux sommes exponentielles

L'outil. Le cours admet que pour tout réel $x$, $\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}={\mathrm{e}}^x$.

Première somme. Regroupons les puissances :

$$\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}=\frac{1}{n!}{\left(\frac{-1}{2}\right)}^n,$$

ce qui est le terme général de la série exponentielle en $x=-\frac{1}{2}$. Donc

$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}={\mathrm{e}}^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\approx 0,6065.$$

Seconde somme. La série complète, en $x=1$, vaut $\mathrm{e}$ :

$$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{n!}=\mathrm{e}.$$

Il suffit d'en retirer les deux premiers termes, $n=0$ et $n=1$, qui valent $\frac{1}{0!}=1$ et $\frac{1}{1!}=1$ :

$$\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n!}=\mathrm{e}-1-1=\mathrm{e}-2\approx 0,7183.$$

Attention à $0!$. Par convention $0!=1$ : le premier terme vaut $1$, pas $0$ ni l'infini. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de retrait.