Deux sommes géométriques

Première somme. C'est une série géométrique de raison $q=-\frac{1}{4}$, et $|q|=\frac{1}{4}<1$ : elle converge, de somme

$$\sum _{n\ge 0}{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}=0,8.$$

Seconde somme. Sortons le facteur constant $3$, ce qui est licite dès que la série obtenue converge :

$$\sum _{n\ge 1}\frac{3}{2^n}=3\sum _{n\ge 1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

La série ${\sum }_{n\ge 1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, mais elle démarre à $n=1$ : on met le premier terme en facteur,

$$\sum _{n\ge 1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2}\sum _{m\ge 0}{\left(\frac{1}{2}\right)}^m=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 2=1,$$

avec le changement d'indice $m=n-1$. Donc

$$\sum _{n\ge 1}\frac{3}{2^n}=3\times 1=3.$$

L'erreur à éviter. La formule $\frac{1}{1-q}$ ne vaut que pour une somme qui commence à $n=0$. Quand elle commence plus loin, on met le premier terme en facteur — ici $\frac{1}{2}$ — plutôt que d'appliquer la formule telle quelle.