La condition de convergence, cas par cas

Le résultat du cours. La série géométrique ${\sum }_{n\ge 0}{q}^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et sa somme vaut alors

$$\sum _{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-q}.$$

Cas $q=1$. Le terme général vaut $1$ pour tout $n$ ; il ne tend pas vers $0$, donc la série diverge. On le voit aussi sur les sommes partielles : $S_N=N+1\to +\infty$.

Cas $q=-1$. Le terme général vaut $(-1{)}^n$, qui n'a pas de limite : en particulier il ne tend pas vers $0$, donc la série diverge. Les sommes partielles valent alternativement $1$ et $0$ — elles ne convergent pas.

Cas $q=1,5$. Ici $|q|=1,5>1$, donc $q^n\to +\infty$ : le terme général ne tend pas vers $0$ et la série diverge.

Ce que les trois cas illustrent. Dès que $|q|\ge 1$, le terme général ne tend pas vers $0$, et la condition nécessaire de convergence du cours suffit à conclure à la divergence. La formule $\frac{1}{1-q}$ n'a donc aucun sens hors de $]-1,1[$ : l'écrire pour $q=2$ donnerait $-1$, résultat manifestement absurde pour une somme de termes positifs.