La condition nécessaire, deux fois

Première série. Le terme général vérifie

$$\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }3.$$

La limite est non nulle. Or le cours affirme que si une série converge, son terme général tend vers $0$. Par contraposée, la série diverge.

Seconde série. Ici le terme général tend vers $0$ : la condition nécessaire ne conclut pas, il faut comparer. Les termes sont positifs, et pour $n\ge 1$ on a $n+5\le 6n$, donc

$$\frac{1}{n+5}\ge \frac{1}{6n}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{n}>0.$$

La série $\sum \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{n}$ diverge, puisque $\sum \frac{1}{n}$ diverge et qu'un facteur constant non nul ne change pas la nature. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \frac{1}{n+5}$ diverge.

La leçon. Le terme général qui tend vers $0$ ne prouve rien : c'est la réciproque, fausse, de la condition nécessaire. La série harmonique en est le contre-exemple de référence, et la seconde série ici n'en est qu'un décalage.