La divergence harmonique, par paquets

Fixons $k\ge 0$ et considérons le paquet des indices $n\in [[2^k+1,2^{k+1}]]$. Il compte $2^{k+1}-2^k=2^k$ termes, et chacun est minoré par le plus petit d'entre eux, $\frac{1}{2^{k+1}}$ :

$$\sum _{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{n}\ge 2^k\times \frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}.$$

En empilant les paquets, la somme partielle jusqu'à $2^K$ vérifie

$$S_{2^K}=1+\sum _{k=0}^{K-1}\sum _{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{n}\ge 1+\frac{K}{2}.$$

Ce minorant tend vers $+\infty$ avec $K$ : la suite $(S_N)$, croissante et non majorée, tend vers $+\infty$. La série diverge.

Et elle diverge très lentement : il faut $K\approx 2\times 10^6$ paquets, soit $N\approx 2^{2000000}$ termes, pour dépasser $10^6$. Le terme général tend bien vers $0$ ; c'est le nombre de termes de chaque paquet qui double juste assez vite pour compenser.

Ce raisonnement est dû à Nicole Oresme, au XIV^e siècle. Il n'utilise ni intégrale ni équivalent — seulement un regroupement et une minoration.